Показано, что количество композиций или упорядоченных разбиений натуральных чисел на нечетные части и одно последующее четное слагаемое {1, 3, 5, ..., 2m-1, 2m} имеет аттрактор-асимптоту, как предельное отношение соседних элементов числовой последовательности, в виде константы золотого сечения Ф≈1,618. Первый последовательный ряд m = 1 воссоздают композиции, которые составлены из нечетной единицы, дополненной двойкой {1, 2}, и образуют числа Фибоначчи. Примечательно, что бесконечно удаленная величина m также приводит к числам Фибоначчи, как количеству композиций натуральных чисел из нечетных частей-слагаемых. Всё это наводит на определенные размышления в части гипотетической химической эволюции по схеме разделения-взаимодействия "чёт-нечет" и развития живого вещества путем деления клеток пополам.
-
-
Композиция - предтеча разбиению
Введение
Композиция (лат. compositio) - составление, соединение, сочетание различных частей в единое целое в соответствии с какой-либо идеей.
Например, золотое сечение в геометрии - типичная композиция отрезка из двух неравных составных частей согласно замыслу пропорционального соотнесения целого и его частей. В общем случае допустимы любые единицы измерения. Но независимо от исходных величин в материальных или математических объектах (метрических расстояний, временных интервалов, весовых долей и т.п.), речь идет всегда о трех объектах c = a + b и отношениях между ними.
Композиционное начало, подобно стволу дерева, органически связывает корни и ветви синтезируемой формы, соподчиняя составные элементы друг другу и целому. Устанавливает отношения между частями. Связывает их в единое целое, обобщает.
Так, художники веками искали наиболее выразительные композиционные схемы.
В итоге наиболее важные по сюжету элементы изображения размещались осмысленно и не хаотично. Чаще всего они объединяются в простые геометрические фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, пирамиду, круг и т.п.
Основные правила и средства композиции основаны на использовании определенных пропорций, в том числе золотой, принципов симметрии и асимметрии, равновесия и взаимопроникновения частей.
Аналогично в архитектуре композиция выражает способ организации архитектурных элементов с целью достижения общего единства и гармоничности.
Числовые композиции
В теории чисел композицией или разложением натурального числа n называют его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых. Последние называются частями, а их количество - длиной композиции.
В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок суммирования. Поэтому количество разбиений числа всегда (кроме чисел 1 и 2) меньше числа композиций.
То есть композиция - это упорядоченное разбиение или разбиение с учетом порядка расстановки слагаемых.
Для числа n количество композиций с k частями (слагаемыми) равно числу сочетаний из n-1 по k-1.
Общее количество композиций равно 2n-1 как сумма всех сочетаний для k = 1, 2, ... n.
А если ограничить множество частей-слагаемых?
Например, множество композиций целых чисел из единиц и двоек в точности соответствуют числам Фибоначчи [1].
Важные закономерности
Разнообразие числовых композиций натуральных чисел тесно связано со свойствами алгебраических полиномов.
Поэтому есть смысл проанализировать их несколько подробнее.